在下文中，令 \(n \in \Bbb{N}\) 且 \(n \geq 2\) 是一个固定的自然数，我们称 \(n\) 为模运算体系的模(modulus)。当给定 \(n\) 后，我们可以将整数分类：当两个整数对 \(n\) 进行带余除法得到的余数相同，我们则认为两个整数属于一类。属于同一类的两个数之间的关系被称为同余(congruent)。
示例 8
在时钟计算中，模数 \(n = 12 \)。在此体系内，整数 \(-7,5,17,29\) 为同余关系，因为这些整数与 \(12\) 进行带余除法获得的余数都为 \(5\) 。假设存在一个 12 小时制的时钟，从 5 点钟开始，增加 12 小时，在表盘上显示为 5 点钟，但其也代表 17 。同理，如果我们减去 12 小时，表盘上仍显示 5 点钟，但其也代表 -7 。
使用带余除法，我们可以将对于同余的直觉转化为适当的数学定义。设 \(a,b \in \Bbb{Z}\) 均为整数，另存在 \(n \in \Bbb{N} \) 且满足 \(n \geq 2 \) 。那么当以下等式成立时，我们就称 \(a\) 与 \(b\) 对于模 \(n\) 同余(congruent with respect to the modulus)。
\[a\ mod\ n = b\ mod\ n\]
上述也可表示为:
\[a \equiv b\ (mod\ n)\]
练习 14. 下列那一对数在模 13 的情况下全等：
- \((5,9)\)
- \((13,0)\)
- \((-4,9)\)
- \((0,0)\)
练习 15. 找到所有满足 \(x \equiv 4\ (mod\ 6)\) 的整数