多项式在很多方面与整数类似。特别是，多项式也可以进行加法、减法和乘法。此外，多项式也有自己的带余除法(欧几里得除法)定义。通俗地说，我们可以通过将对应项系数相加的方法实现两个多项式加法，并且我们可以通过使用乘法分配律实现多项式的乘法。
设 \( \sum _{n = 0} ^{m_1}{a} _{n}{x} ^{n} \) 和 \( \sum _{n = 0} ^{m_2}{b} _{n}{x^n} \) 均是定义在 \(R[x]\) 上的多项式。那么，多项式的和(sum) 和 乘积(product) 定义如下：
\[ \sum _{n = 0} ^{m_1}{a} _{n}{x} ^{n} + \sum _{n = 0} ^{m_2}{b} _{n}{x } ^{n} = \sum _{n = 0} ^{max({m_1,m_2})}{({a} _{n} +{b} _{n})}{x} ^{n} \]
\[ \bigg (\sum _{n = 0} ^{m_1}{a} _{n}{x} ^{n} \bigg) \cdot \bigg (\sum _{n = 0} ^{m_2 }{b} _{n}{x} ^{n} \bigg) = \sum _{n = 0} ^{m_1+m_2} \sum _{i = 0} ^{n}{a} _{i }{ {b} _{n-i} }{x} ^{n} \]
多项式减法的规则可以从加法和乘法中推导出来，即减数多项式与 \(-1\) 相乘后于被减数相加。
已知多项式次数的定义，我们发现和的次数总是两个被加数的最大值，而乘积的次数总是因子次数的和。因为我们已经定义了 \(-\infty + m= - \infty\) ，所以即使在多项式乘法的因子中出现了零多项式，乘积的次数为因子次数的和的定理依然成立。
示例 22
为了举例说明多项式运算的工作原理，已知以下两个整数多项式 \(P,Q\in \Z[x]\) 且 \(P(x)= 5x^2 -4x +2 , Q(x)=x^3-2x^2 +5\)。两个多项式的和是将多项式对应次数项的系数相加，如下：
\[ \begin{align*} (P+Q)(x) & = (0+1)x^3 + (5-2)x^2 + (-4 +0) x +(2+5) \\ & = x^3 +3x^2 -4x +7 \end{align*} \]
多项式的乘积通过将第一个多项式中的每一项于第二个多项式中的每一项相乘计算得到的：
\[ \begin{align*} (P\cdot Q)(x) & = (5x^2 -4x +2)\cdot (x^3-2x^2 +5) \\ & = (5 x^5 -10 x^4 +25 x^2)+ (-4x^4 +8 x^3 -20x) + (2x^3 -4x^2+10) \\ & = 5 x^5 -14x^4 +10x^3+21x^2-20x +10 \end{align*} \]
使用 Sage 检验如下：
sage: Zx = ZZ['x']
sage: P = Zx([2,-4,5])
sage: Q = Zx([5,0,-2,1])
sage: P+Q == Zx(x^3 +3*x^2 -4*x +7)
True
sage: P*Q == Zx(5*x^5 -14*x^4 +10*x^3+21*x^2-20*x +10)
True
示例 23
已知 示例 22 中给出的多项式，但已知系数属于模 6 算术体系的情况，即 \(P,Q\in \Z_6[x]\)。运算如下：
\[ \begin{align*} (P+Q)(x) & = (0+1)x^3 + (5-2)x^2 + (-4 +0) x +(2+5) \\ & = (0+1)x^3 + (5+4)x^2 + (2 +0) x +(2+5) \\ & = x^3 +3x^2 +2x +1\\ \\ (P\cdot Q)(x) & = (5x^2 -4x +2)\cdot (x^3-2x^2 +5) \\ & = (5x^2 +2x +2)\cdot (x^3+4x^2 +5) \\ & = (5 x^5 +2 x^4 +1x^2)+ (2x^4 +2x^3 +4x) + (2x^3 +2x^2+4) \\ & = 5 x^5 +4x^4 +4x^3+3x^2+4x +4 \end{align*} \]
使用 Sage 检验如下：
sage: Z6x = Integers(6)['x']
sage: P = Z6x([2,-4,5])
sage: Q = Z6x([5,0,-2,1])
sage: P+Q == Z6x(x^3 +3*x^2 +2*x +1)
True
sage: P*Q == Z6x(5*x^5 +4*x^4 +4*x^3+3*x^2+4*x +4)
True
练习 26. 比较 示例 22 和 示例 23 中的多项式和 \(P + Q\) 和多项式乘积 \(P \cdot Q\) ，并已知 示例 11 中给出 \(\Z_6\) 的定义。如何通过 \(\Z[x]\) 体系下的运算结果推导出 \(\Z_6[x]\) 体系下的运算结果。