列出一个群内所有的元素可能是复杂的，而且如何计算给定群的元素不总是那么简单。因此，从实践的角度出发，我们需要群拥有一个生成集(generator set)。这是群的一个小子集，但其他所有元素都可以由生成集及其逆元使用群法则计算出来。
当然，每一个群都有生成集，因为我们可以将群内所有元素都视为生成集的部分。让我们感兴趣的问题是寻找给定群的最小生成集。在此问题上，更令我们感兴趣的是寻找仅包含一个元素的生成集。在这种情况下，存在一个(不一定是唯一的)元素 \(g \in \Bbb{G}\) 使得 \(\Bbb{G}\) 内所有其他元素都可以通过 \(g\) 和 \(g^{-1}\) 的组合计算得到。
具有单个、不一定唯一的生成元的群的称为循环群(cyclic group) ，任何能够生产 \(\Bbb{G}\) 的元素被称为生成元。
示例 35
循环群最基本的例子是整数加法群 \((\Bbb{Z}, +)\)。\(1\) 是整数加法群的生成元，因为显然所有整数都可以由 \(1\) 和它的逆元 \(-1\) 通过加法构成。比如 \(-4 = -1 + (-1) + (-1) + (-1)\) 。与之对应，\(-1\) 也可以作为 \(\Bbb{Z}\) 的生成元。
示例 36
已知群 \((\Bbb{Z}_5^*, \cdot)\) ,因为 \(2^1=2, 2^2=4, 2^3=3, 2^4=1\)，所以 \(2\) 是 \((\Bbb{Z}_5^*, \cdot)\) 的生成元。
此外，由于 \(3^1=3, 3^2=4, 3^3=2, 3^4=1\) ，\(3\) 是 \((\Bbb{Z}_5^*, \cdot)\) 的生成元。由此可知，循环群的生成元可能多于 1 个。
\(4^1=4, 4^2=1, 4^3=4\)，事实上，\(4^k\) 符合:
\[ 4^k = \begin{cases} 4 &\text{if k is odd}\\ 1 &\text{if k is even} \end{cases} \]
因此，\(4^k\) 不是 \((\Bbb{Z}_5^*, \cdot)\) 的生成元。由此可见，有限循环群内的每个元素不一定都是生成元。
示例 37
已知模 n 算术体系内的同余类群 \((\Bbb{Z}_n, +)\)，该群是一个循环群，其生成元是 \(1\)。因为该群内的任何其他元素都可以通过 \(1\) 自身累加得到。由于 \(\Bbb{Z}_n\) 是有限集合，所以 \((\Bbb{Z}_n, +)\) 的阶数为 \(n\)
练习 36. 已知群 \((\Bbb{Z}_6,+)\) ，证明 \(5 \in \Bbb{Z}_6\) 是群的生成元，但 \(2 \in \Bbb{Z}_6\) 不是生成元
练习 37. 设 \(p \in \Bbb{P}\) 是一个素数，且 \((\Bbb{Z}_p^*, \cdot)\) 是一个有限群，证明 \((\Bbb{Z}_p^*, \cdot)\) 是一个循环群。