所谓的 离散对数问题(Discrete Logarithm Problem, DLP) ，亦被称为 离散对数假设(Discrete Logarithm Assumption) 是密码学中最重要的假设。
设 $\Bbb{G}$ 是一个 $r$ 阶有限循环群，且生成元为 $g$ 。已知存在指数映射 $g^{(\cdot)}: \Z_r \to \Bbb{G} ; x\mapsto g^x$ ，该映射将 模 r 算术中的剩余类 1 : 1 的映射到对应的群中。离散对数问题的任务就是找到该映射的逆，即对于给定的 $h,g \in \Bbb{G}$ ，可以找到解 $x \in \Z_r$ 满足等式:
$$ h = g^x$$
在某些群内， DLP 被假设为无法求解，但在另一些群内可以求解。我们称前者为 DL 安全群(DL-secure)
重述前定义，在 DL 安全群内，存在足够大的阶 $n$ ，使得对于给定的 $h$ 和 $g$ 无法对 $h = g^x$ 求解获得 $x$。此处的 $n$ 就是上文讨论的安全参数。
示例 43
DL 安全群应用最基础的示例之一是在公钥密码学中。参与公钥密码学的各方都认可 $(\Bbb{G}, g)$ ，其中 $\Bbb{G}$ 是一个具有合适阶数 $n$ 的有限群且满足 DL 安全群的定义， $g$ 是 $\Bbb{G}$ 的生成元。
在此设定中，密钥是某个数 $sk \in \Z_r$ ，对应的公钥 $pk$ 是一个群元素 $pk = g^{sk}$。因为离散对数算法被假定为无法执行，所以攻击者无法通过公钥计算出对应的私钥，因为求解私钥涉及以下方程的解:
$$pk = g^x$$
如示例 43 所述，识别 DL 安全群是一个重要的实际问题。不幸的是，假设所有的有限循环群中的离散对数计算都是困难的是没有意义的，我们可以很容易通过反例推翻这一假设。