$$ \gdef\Zdiv#1#2{#1\ \text{div}\ #2} \gdef\Zmod#1#2{#1\ \text{mod}\ #2} $$
多项式运算与整数运算共享了许多性质。因此，欧几里得除法的概念和长除法算法也存在多项式定义。回忆 欧几里得除法 一节，我们知道，给定两个整数 \(a, b \neq 0\) ，总是存在另一个整数 \(m\) 和自然数 \(r\) 且 \(r < |b|\) 使得 \(a = m \cdot b + r\) 成立。
当被除数多项式的首项系数具有乘法逆元的概念，我们就可以将整数的欧几里得除法推广到多项式中。事实上，给定两个定义在 \(R[x]\) 上的多项式 \(A, B \neq 0\) 且 \({Lc(B)}^{-1}\) 在 \(R\) 中存在，那么就有多项式 \(Q\)(the quotient 商) 和 \(P\)(the remainder 余数) 且 \(deg(P) < deg(B)\) 使得：
\[A = Q \cdot B + P\]
与整数欧几里得除法类似，\(Q\) 和 \(P\) 都是唯一的。
符号 2
假设多项式 \(A,B,Q,P\) 满足上式。我们通常使用一些符号表示欧几里得除法中的商和余数：
\[ \begin{array}{lcr} \Zdiv{A}{B}: = Q, & & \Zmod{A}{B}: = P \end{array} \]
如果 \(\Zmod{A}{B}=0\) 成立，我们乘多项式 \(A\) 可以被 \(B\) 整除。在这种情况下，我们也可以记为 \(B|A\) 并称 \(B\) 是 \(A\) 的一个因子。
类似整数，计算多项式欧几里得除法的方法被称为多项式除法算法(polynomial division algorithms)。最著名的算法可能是所谓的多项式长除法(polynomial long division)。如下所示：
该算法只有存在 \(B\) 的首项系数存在乘法逆元时才有效。它可以被推广，但我们在下面的内容中仅需要这个较为简单的算法。
示例 24
在本示例中，我们将讨论多项式长除法。
为了举例说明长除法时证明工作的，给出 \(A(x)=x^5+2x^3-9\in \Z[x]\) 除以 \(B(x)=x^2+4x-1\in\Z[x]\) 。因为 \(B\) 不是零多项式，且 \(B\) 的首项系数是 \(1\) ，该系数是可逆的，所以我们可以使用多项式长除法。我们的目标是找到 商 \(Q \in \Z[x]\) 和余数 \(P \in \Z[x]\) 使得 \(x^5+2x^3-9 = Q(x)\cdot (x^2+4x-1) + P(x)\) 成立。使用主要国家的长除法运算过程表示方法，我们运算过程如下：
$$ \begin{array}{rll} X^3 - 4X^2 + 19X - 80 \\ X^2+4X-1 {\overline{\smash{\big)} X^5\phantom{-4X^4} + 2 X^3\phantom{- 4X^2 + 19X }-9})}\\ \underline{X^5+4X^4-X^3\phantom{- 4X^2 + 19X - 80} } \\ -4X^4+3X^3\phantom{- 4X^2 + 19X - 80}\\ \underline{ -4X^4-16X^3+4X^2 } \phantom{+ 19X - 80}\\ 19X^3-4X^2 \phantom{+ 19X - 80}\\ \underline{ 19X^3+76X^2-19X } \phantom{-9} \\ -80X^2+19X-9\\ \underline{ -80X^2-320X+80 } \\ 339X-89 \end{array} $$
上述长除法是经过译者本土化后的(读者应在高考期间学习过此内容)，所以与原文不太相同，但考虑到教育背景的差异，译者使用的竖式可能与读者熟悉的不同。
示例 25
在上一个例子中，多项式除法给出了非平凡(非零的)的余数。没有余数的除法是令人感兴趣的。在这种情况下，除数被称为被除数的因子(factors of the dividend)。
比如，回顾 示例 18 中给出的整数多项式 \(P_7\) 。 \(P_7\) 既可以写成 \(x^3 - 4 x^2 - 11 x + 30\) 也可以写成 \((x-2)(x + 3)(x-5)\) 。由此可知，多项式 \(F_1(x)=(x-2), F_2(x)=(x+3), F_3(x)=(x-5)\) 都是 \(x^3 - 4 x^2 - 11 x + 30\) 的因子。
练习 27. 已知多项式 \(A(x):=-3x^4+4x^3+2x^2+4\) 和 \(B(x) := x^2-4x+2\) 。在以下类型限制下计算 \(A\) 除以 \(B\) 的结果：
- \(A,B \in \Z[x]\)
- \(A,B \in \Z_6[x]\)
- \(A,B \in \Z_5[x]\)
对比 \(\Z[x]\) 和 \(\Z_6[x]\) 下的结果，考虑如何根据 \(\Z[x]\) 下的结果推出 \(\Z_6[x]\) 下的结果。
练习 28. 证明 \(B(x)= 2x^4-3x+4\in \Z_5[x]\) 是 \(A(x)=x^7 + 4x^6 + 4x^5 + x^3 + 2x^2 + 2x + 3\in\Z_5[x]\) 的因子，即 \(B|A\)，并计算 \(\Zdiv{B}{A}\) .