回忆 算术基本定理 告诉我们任何自然数都可以写成素数的乘积。在本节中，我们会发现类似的定理也适用于单变量多项式。
在多项式内也存在类似素数的概念，被称为 不可约多项式(irreducible polynomial)。不可约多项式指不能使用欧几里得除法分解为两个非常数多项式乘积的多项式。不可约多项式之于多项式与素数之于整数：它们都是构建其他所有多项式的基本构件。
为更加清楚的说明，设 \(P \in \R[x]\) 是任一多项式，那么存在不可约多项式 \(F_1, F_2, \ldots, F_k \in R[x]\) 使得下式成立：
\[P = F_1 \cdot F_2 \cdot \ldots \cdot F_k\]
除因子排列顺序不同外，这种分解是唯一的，被称为 \(P\) 的素因子分解(prime factorization)。此外，每一个因子 \(F_i\) 则被称为 \(P\) 的素因子(prime factor)
示例 26
已知多项式 \(P = x^2-3\)。当我们认为 \(P\) 是一个整数多项式时(\(P \in \Bbb{Z}[x]\))，我们发现该多项式为一不可约多项式，因为除 \(1 \cdot (x^2-3)\) 之外的任一分解都形如 \((x-a)(x+a)\) 形式，但对于整数 \(a\) 而言 \(a^2=3\) 无解。
sage: Zx = ZZ['x']
sage: p = Zx(x^2-3)
sage: p.factor()
x^2 - 3
另一方面，如果我们认为 \(P\) 是一个多项式 \(P \in \Bbb{Z}_6\) ，我们发现 \(P\) 存在两个因子 \(F_1=(x-3)\) 和 \(F_1=(x+3)\) ，因为 \((x-3)(x+3)= x^2 -3x +3x -3\cdot 3= x^2-3\)
使多项式求值为 \(0\) 的 \(x\) 点被称为多项式的根(roots)。更加准确的说，设 \(P \in R[x]\) 为一多项式，那么根 \(x_0\ \in R\) 满足 \(P(x_0)=0\)，且 \(P\) 的所有根的集合如下：
\[R_0(P):=\{x_0\in R| P(x_0)=0\}\]
多项式的根因在质因子分解中具有重要意义。可以证明，对于 \(P\) 的任一给定的根 \(x_0\) 都存在 \(F(x)=(x-x_0)\) 是 \(P\) 的素因子。
求多项式的根的过程有时被称为解多项式(solving the polynomial)。这是一个难题，在历史上有大量的研究。
可以证明，如果 \(m\) 是多项式 \(P\) 的次数，那么 \(P\) 不会有超过 \(m\) 个根。但是，一般来说，多项式的根数量会小于 \(m\) 。
示例 27
回顾 示例 18 中给出的整数多项式 \(P_7(x) = x^3 - 4x^2 - 11x + 30\) ，我们可以计算出它的根是 \(R_0(P_7)=\{-3,2,5\}\).
另一方面，我们知道 示例 26 中给出的 \(x^2-3\) 是不可约多项式，因此它没有根。因为只要多项式存在一个根，那么其必然可以继续分解，这与不可约多项式的定义冲突(反证法)。
示例 28
给出另一个例子，已知整数多项式 \(P=x^7 + 3 x^6 + 3 x^5 + x^4 - x^3 - 3 x^2 - 3 x - 1\) 。我们可以使用 Sage 计算此多项式的根：
sage: Zx = ZZ['x']
sage: p = Zx(x^7 + 3*x^6 + 3*x^5 + x^4 - x^3 - 3*x^2 - 3*x - 1)
sage: p.roots()
[(1, 1), (-1, 4)]
sage: p.factor()
(x - 1) * (x + 1)^4 * (x^2 + 1)
我们发现 \(P\) 存在根 \(1\) ，并且素因子 \((x-1)\) 在 \(P\) 中出现了一次。我们也发现 \(P\) 存在根 \(-1\)，其关联的素因子 \((x+1)\) 在 \(P\) 中出现了四次。因此，我们得到了如下素因子分解：
\[P=(x - 1) * (x + 1)^4 * (x^2 + 1)\]
上述出现几次存在一种更加数学的表述，即多重根(multiple root)。译者注。
练习 29. 证明：若多项式 \(P \in R[x]\) 且其次数为 \(deg(P)=m\) 存在至多 \(m\) 个根，则该多项式必存在一个素因子 \(F\) 且 \(deg(F)>1\)
练习 30. 给出多项式 \(P=x^7 + 3 x^6 + 3 x^5 + x^4 - x^3 - 3 x^2 - 3 x - 1\in \Bbb{Z}_6[x]\) ，计算该多项式的所有根 \(R_0(P)\) ，然后计算 \(P\) 的素因数分解